Matemáticas 2: ÁREAS EN POLÍGONOS REGULARES

ÁNGULOS DE UN POLÍGONO REGULAR

Central

Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\alpha = \frac{2\pi}{n} \;$ en radianes

Interior

El ángulo interior, $\beta \,$ , de un polígono regular mide:

$\beta = 180^\circ \cdot \frac{(n-2)}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\beta = \pi \cdot \frac{(n-2)}{n} \;$ en radianes

La suma de los ángulos interiores, $\sum \beta \;$ , de un polígono regular es de:

$\sum \beta = 180^\circ \cdot {(n-2)} \;$ en grados sexagesimales

$\sum \beta = \pi \cdot {(n-2)} \;$ en radianes

Exterior

El ángulo exterior, $\gamma \;$ , de un polígono regular es de:

$\gamma = \frac{360^\circ}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\gamma = \frac{2 \pi}{n} \;$ en radianes

La suma de los ángulos exteriores, $\sum \gamma \,$ , de un polígono regular es:

$\sum \gamma = 360^\circ \;$ en grados sexagesimales

$\sum \gamma = 2 \pi \;$ en radianes

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

$A = \frac {P \cdot a}{2}$


Partiendo del triángulo que tiene por base un lado L, del polígono y altura su apotema a , el área de este triángulo, es: $A_t = \frac{L \cdot a}{2} \;$ Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será: $A_p = \frac{L \cdot a}{2} \cdot n \;$ Sabiendo que la longitud de un lado L, por el número n de lados, es el perímetro P, tenemos: $A_p = \frac{P \cdot a}{2} \;$

En función del número de lados y la apotema

Sabiendo que:

$A_p = \frac {L \cdot n \cdot a} {2}$

Además $\delta = \frac {\pi} {n} \$ , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).
Observando la imagen, es posible deducir que:

$L = 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$

Sustituyendo el lado:

$A_p = \frac { \left ( 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \right ) \cdot n \cdot a } {2}$

Finalmente:

$A_p = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

En función del número de lados y el radio

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

$L = 2 r \sin({\delta}) \;$

$a = r \cos({\delta}) \;$

donde el ángulo central es:

$\alpha = 2 \delta = \frac{2\pi}{n} \;$

sabiendo que el área de un polígono es:

$A_p = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;$

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

$A_p = \frac{2 r \sin({\delta}) \cdot n \cdot r \cos({\delta})}{2} \;$

ordenando tenemos:

$A_p = \frac{n r^2 \cdot 2 \sin({\delta}) \cos({\delta})}{2} \;$

sabiendo que:

$2 \sin({\delta}) \cos({\delta}) = \sin({2 \delta}) \;$

resulta:

$A_p = \frac{n r^2 \sin({\alpha})}{2} \;$

o lo que es lo mismo:

$A_p = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \;$

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

En función de la longitud y el número de lados

Y si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

$A_p = n \cdot \frac{L \cdot a}{2}$

Sea $\varphi$ el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

$\varphi = \frac{\pi-\alpha}{2} \ = \frac{\pi-\frac{2\pi}{n}}{2} \ = \frac{\pi}{2} \; \frac{(n-2)}{n}$

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

$\tan \varphi = \frac{a}{\frac{L}{2}} = \frac{2a}{L}$

Despejando la apotema tenemos:

$a = \frac{L \cdot \tan \varphi}{2}$

Sustituimos la apotema por su valor:

$\left . \begin{array}{l} A_p = n \cdot \cfrac{L \cdot a}{2} \\ \\ a = \cfrac{L \cdot \tan \varphi}{2} \\ \\ \varphi = \cfrac{\pi}{2} \; \cfrac{(n-2)}{n} \end{array} \right \} \quad \longrightarrow \quad A_p = n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot \tan \left ( \cfrac{\pi}{2} \; \cfrac{(n-2)}{n} \right )$

Se puede ver en el dibujo que $tan(\delta) = \frac{1}{tan(\varphi)}$ y la fórmula puede escribirse también como $A_p = \frac{n \cdot L^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{180^{o}}{n}\right)}$ .
Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

Matemáticas 2

jueves, 13 de marzo de 2014

ÁREAS EN POLÍGONOS REGULARES