Matemáticas 2

ÁREA Y PERÍMETRO DE LA CORCUNFERENCIA

Área
La curva denominada circunferencia encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia.
Existe una fórmula muy sencilla que nos permite calcular cuál es el área encerrada dentro de la circunferencia sólo sabiendo cuando mide el radio de la circunferencia.
Llamemos r al radio de la circunferencia, entonces el área de la circunferencia será:

Veamos un ejemplo de como podemos calcular el área de una circunferencia.

En la circunferencia de la imagen expuesta arriba se ve claramente que el área encerrada por la circunferencia es la que está en color blanco. En este caso la variable r toma el valor r=10 cm. El área se calcularía de la siguiente forma:
$A = π \cdot r 2 = π \cdot 102 = 314, 16 cm 2$
Nota 1: vemos que las unidades del parámetro r son cm. Podría ser cualquier unidad de medida, como por ejemplo cm, m, mm... u otras unidades como pulgadas, por ejemplo.
Nota 2: las unidades en que sale el área son unidades de longitud al cuadrado al haber multiplicado una distancia por si misma.

Perímetro
Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida.
De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio r .
La expresión es la siguiente: $P = 2 \cdot π \cdot r$

Veámoslo más claro con un ejemplo:

Tomemos la circunferencia del ejemplo anterior, que volvemos a representar a continuación:

De nuevo el parámetro r es r=10 cm.
Aplicando la fórmula explicada anteriormente se obtiene:
$P = 2 \cdot π \cdot r = 2 \cdot π \cdot 10 = 62, 83 cm$ Por tanto, el resultado es que el perímetro vale cm.

TEOREMAS DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

LUGARES GEOMÉTRICOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Lugares Geométricos

Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:

*Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
*Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

Mediatriz

Recta perpendicular al punto medio de un segmento. Mediatrices de un triángulo son las m. de cada uno de sus lados. Las tres m. concurren en un punto llamado circuncentro del triángulo. También se puede definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

Bisectriz

De un ángulo, es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. También se puede definir la bisectriz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los lados del ángulo.

Circunferencia

Lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.. La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es radio R.
Ecuación de la circunferencia:

Si C(a,b) es el centro de la circunferencia y P(x,y), un punto cuanquiera de la misma, la definición nos dice:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Esta es la ecuación de la circunferencia, o sea la condicion que deben cumplir las coordenadas (x,y) de cualquier punto que este en la circunferencia de centro (a,b) y radio r.
Desarrollando la ecuación anterior podemos escribir de otra manera la ecuación de la circunferencia.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ecuación reducida, es la que corresponde a una cónica cuyo centro es el origen de coordenadas. En el caso de la circunferencia la ecuación reducida es : x2 + y2 = R2

ÁREAS EN POLÍGONOS REGULARES

ÁNGULOS DE UN POLÍGONO REGULAR

Central

Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\alpha = \frac{2\pi}{n} \;$ en radianes

Interior

El ángulo interior, $\beta \,$ , de un polígono regular mide:

$\beta = 180^\circ \cdot \frac{(n-2)}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\beta = \pi \cdot \frac{(n-2)}{n} \;$ en radianes

La suma de los ángulos interiores, $\sum \beta \;$ , de un polígono regular es de:

$\sum \beta = 180^\circ \cdot {(n-2)} \;$ en grados sexagesimales

$\sum \beta = \pi \cdot {(n-2)} \;$ en radianes

Exterior

El ángulo exterior, $\gamma \;$ , de un polígono regular es de:

$\gamma = \frac{360^\circ}{n} \;$ en grados sexagesimales

$\gamma = \frac{2 \pi}{n} \;$ en radianes

La suma de los ángulos exteriores, $\sum \gamma \,$ , de un polígono regular es:

$\sum \gamma = 360^\circ \;$ en grados sexagesimales

$\sum \gamma = 2 \pi \;$ en radianes

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

$A = \frac {P \cdot a}{2}$


Partiendo del triángulo que tiene por base un lado L, del polígono y altura su apotema a , el área de este triángulo, es: $A_t = \frac{L \cdot a}{2} \;$ Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será: $A_p = \frac{L \cdot a}{2} \cdot n \;$ Sabiendo que la longitud de un lado L, por el número n de lados, es el perímetro P, tenemos: $A_p = \frac{P \cdot a}{2} \;$

En función del número de lados y la apotema

Sabiendo que:

$A_p = \frac {L \cdot n \cdot a} {2}$

Además $\delta = \frac {\pi} {n} \$ , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).
Observando la imagen, es posible deducir que:

$L = 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$

Sustituyendo el lado:

$A_p = \frac { \left ( 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \right ) \cdot n \cdot a } {2}$

Finalmente:

$A_p = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

En función del número de lados y el radio

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

$L = 2 r \sin({\delta}) \;$

$a = r \cos({\delta}) \;$

donde el ángulo central es:

$\alpha = 2 \delta = \frac{2\pi}{n} \;$

sabiendo que el área de un polígono es:

$A_p = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;$

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

$A_p = \frac{2 r \sin({\delta}) \cdot n \cdot r \cos({\delta})}{2} \;$

ordenando tenemos:

$A_p = \frac{n r^2 \cdot 2 \sin({\delta}) \cos({\delta})}{2} \;$

sabiendo que:

$2 \sin({\delta}) \cos({\delta}) = \sin({2 \delta}) \;$

resulta:

$A_p = \frac{n r^2 \sin({\alpha})}{2} \;$

o lo que es lo mismo:

$A_p = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \;$

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

En función de la longitud y el número de lados

Y si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

$A_p = n \cdot \frac{L \cdot a}{2}$

Sea $\varphi$ el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

$\varphi = \frac{\pi-\alpha}{2} \ = \frac{\pi-\frac{2\pi}{n}}{2} \ = \frac{\pi}{2} \; \frac{(n-2)}{n}$

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

$\tan \varphi = \frac{a}{\frac{L}{2}} = \frac{2a}{L}$

Despejando la apotema tenemos:

$a = \frac{L \cdot \tan \varphi}{2}$

Sustituimos la apotema por su valor:

$\left . \begin{array}{l} A_p = n \cdot \cfrac{L \cdot a}{2} \\ \\ a = \cfrac{L \cdot \tan \varphi}{2} \\ \\ \varphi = \cfrac{\pi}{2} \; \cfrac{(n-2)}{n} \end{array} \right \} \quad \longrightarrow \quad A_p = n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot \tan \left ( \cfrac{\pi}{2} \; \cfrac{(n-2)}{n} \right )$

Se puede ver en el dibujo que $tan(\delta) = \frac{1}{tan(\varphi)}$ y la fórmula puede escribirse también como $A_p = \frac{n \cdot L^2}{4 \cdot \tan\left( \frac{180^{o}}{n}\right)}$ .
Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.